5. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство (x — y)(x + y) — (a — x + y)(a — x — y) — a(2x — a) = 0.

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. Первое произведение:
   (x — y)(x + y) = x² — y² (используем формулу разности квадратов)
2. Второе произведение:
   (a — x + y)(a — x — y) = ((a — x) + y)((a — x) — y) = (a — x)² — y² = (a² — 2ax + x²) — y² = a² — 2ax + x² — y²
3. Третий член:
   —a(2x — a) = —2ax + a²
4. Соберем все вместе:
   (x² — y²) — (a² — 2ax + x² — y²) — (—2ax + a²) = 0
5. Раскроем скобки и упростим:
   x² — y² — a² + 2ax — x² + y² + 2ax — a² = 0
6. Приведем подобные члены:
   (x² — x²) + (—y² + y²) + (—a² — a²) + (2ax + 2ax) = 0
   0 + 0 — 2a² + 4ax = 0
   4ax — 2a² = 0

Примечание: В оригинальном выражении, видимо, была опечатка. Если выражение должно быть тождественно равно нулю, то должно быть так:
(x — y)(x + y) — (a — x + y)(a — x — y) + a(2x — a) = 0
Тогда:
x² — y² — (a² — 2ax + x² — y²) + (2ax — a²)
= x² — y² — a² + 2ax — x² + y² + 2ax — a²
= (x² — x²) + (—y² + y²) + (—a² — a²) + (2ax + 2ax)
= 0 + 0 — 2a² + 4ax
Что не равно нулю.

Если бы было: (x — y)(x + y) — (a — x + y)(a — x — y) — a(a — 2x) = 0
Тогда:
x² — y² — (a² — 2ax + x² — y²) — (a² — 2ax)
= x² — y² — a² + 2ax — x² + y² — a² + 2ax
= (x² — x²) + (—y² + y²) + (—a² — a²) + (2ax + 2ax)
= 0 + 0 — 2a² + 4ax
Что также не равно нулю.

Предполагая, что в последнем слагаемом было -a(a-2x):
(x — y)(x + y) — (a — x + y)(a — x — y) — a(a — 2x) = 0
x² — y² — (a² — 2ax + x² — y²) — a² + 2ax = 0
x² — y² — a² + 2ax — x² + y² — a² + 2ax = 0
—2a² + 4ax = 0
4ax = 2a²
2x = a

Если исходное выражение верно, то оно не является тождеством, так как (x — y)(x + y) — (a — x + y)(a — x — y) — a(2x — a) = 4ax — 2a².