5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (p + x)(p-x) - (p-x+c)(p+x-c) - c(c-2x) = 0.

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

1. \( (p + x)(p-x) = p^2 - x^2 \) (разность квадратов).
2. \( (p-x+c)(p+x-c) = ((p+c) - x)((p-c) + x) \). Это не разность квадратов. Преобразуем: \( (p - (x-c))(p + (x-c)) \) — это разность квадратов, если \( p-x+c \) и \( p+x-c \) имеют одинаковый первый член, но это не так. Перегруппируем: \( ((p-x)+c)((p-c)+x) \). Если раскроем как \( (A+c)(B+x) \), то \( AB + Ax + cB + cx \). Это сложно. Перегруппируем иначе: \( (p - (x - c))(p + (x - c)) \) → \( p^2 - (x - c)^2 = p^2 - (x^2 - 2xc + c^2) = p^2 - x^2 + 2xc - c^2 \).
3. \( -c(c-2x) = -c^2 + 2xc \).
4. Теперь сложим всё: \( (p^2 - x^2) - (p^2 - x^2 + 2xc - c^2) + (-c^2 + 2xc) \)
5. \( p^2 - x^2 - p^2 + x^2 - 2xc + c^2 - c^2 + 2xc \)
6. Все члены взаимно уничтожаются: \( (p^2 - p^2) + (-x^2 + x^2) + (-2xc + 2xc) + (c^2 - c^2) = 0 \).

Доказано.