5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (p + x)(p - x) - (p - x + c)(p + x - c) - c(c - 2x) = 0.

Решение:

Раскроем скобки в левой части равенства:

1. Раскроем первую скобку:

\( (p + x)(p - x) = p^2 - x^2 \)

2. Раскроем вторую скобку:

\( (p - x + c)(p + x - c) \)

Можно заметить, что \( p + x - c = p - (c - x) \) и \( p - x + c = p + (c - x) \). Нет, это не совсем верно. Перегруппируем:

\( (p + (c - x))(p - (c - x)) \)

Это разность квадратов: \( p^2 - (c - x)^2 = p^2 - (c^2 - 2cx + x^2) = p^2 - c^2 + 2cx - x^2 \)

3. Раскроем третью скобку:

\( c(c - 2x) = c^2 - 2cx \)

4. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

\( (p^2 - x^2) - (p^2 - c^2 + 2cx - x^2) - (c^2 - 2cx) = 0 \)

\( p^2 - x^2 - p^2 + c^2 - 2cx + x^2 - c^2 + 2cx = 0 \)

5. Сократим подобные члены:

\( (p^2 - p^2) + (-x^2 + x^2) + (c^2 - c^2) + (-2cx + 2cx) = 0 \)

\( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

\( 0 = 0 \)

Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.