5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (x - y) (x + y) - (a - x + y) (a - x - y) - a (2x - a) = 0.

Решение:

Раскроем скобки по очереди.

1. Первое выражение: \( (x - y)(x + y) \)

Это формула разности квадратов: \( x^2 - y^2 \).

2. Второе выражение: \( (a - x + y)(a - x - y) \)

Сгруппируем члены в скобках так: \( ((a - x) + y)((a - x) - y) \). Это также формула разности квадратов, где \( A = (a - x) \) и \( B = y \).

\( (a - x)^2 - y^2 \)

Раскроем квадрат разности: \( (a^2 - 2ax + x^2) - y^2 \)

\( a^2 - 2ax + x^2 - y^2 \)

3. Третье выражение: \( -a(2x - a) \)

Раскроем скобки: \( -2ax + a^2 \).

Теперь подставим все раскрытые выражения обратно в исходное равенство:

\( (x^2 - y^2) - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) - (2ax - a^2) \)

Раскроем вторую группу скобок, меняя знаки:

\( x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - 2ax + a^2 \)

Приведём подобные слагаемые:

• \( x^2 - x^2 = 0 \)
• \( -y^2 + y^2 = 0 \)
• \( -a^2 + a^2 = 0 \)
• \( 2ax - 2ax = 0 \)

Все слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся \( 0 \).

\( 0 = 0 \)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.