5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (x - y)(x + y) – (a - x + y)(a - x - y) - a (2x – a) = 0.

Пошаговое решение:

• Раскроем первую скобку, используя формулу разности квадратов (a - b)(a + b) = a² - b²:
• (x - y)(x + y) = x² - y²
• Раскроем вторую часть выражения. Заметим, что (a - x + y) = (a - (x - y)) и (a - x - y) = (a - (x + y)). Однако, удобнее заметить, что (a - x + y) = (a - (x - y)) и (a - x - y) = (a - x) - y. Проще заметить, что (a - x + y) = (a - x) + y, а (a - x - y) = (a - x) - y. Используем формулу разности квадратов (A + B)(A - B) = A² - B², где A = (a - x) и B = y:
• (a - x + y)(a - x - y) = ((a - x) + y)((a - x) - y) = (a - x)² - y² = (a² - 2ax + x²) - y² = a² - 2ax + x² - y²
• Раскроем третью часть выражения, используя распределительное свойство:
• - a (2x – a) = -2ax + a²
• Теперь подставим все раскрытые части обратно в исходное выражение:
• (x² - y²) - (a² - 2ax + x² - y²) + (-2ax + a²)
• Раскроем скобки, меняя знаки там, где стоит минус перед скобкой:
• x² - y² - a² + 2ax - x² + y² - 2ax + a²
• Приведем подобные слагаемые:
• (x² - x²) + (-y² + y²) + (-a² + a²) + (2ax - 2ax) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Вывод:

Левая часть выражения равна правой части (0), следовательно, равенство верно при любых значениях переменных.