5. Докажите, что верно равенство (a+c)(a-c)-b(2a-b)-(a-b+c)(a-b-c)=0.

Доказательство:

Раскроем скобки и упростим левую часть равенства:

\( (a+c)(a-c) - b(2a-b) - (a-b+c)(a-b-c) \)

1. \( (a+c)(a-c) = a^2 - c^2 \) (разность квадратов)

2. \( -b(2a-b) = -2ab + b^2 \)

3. \( -(a-b+c)(a-b-c) \)

Пусть \( (a-b) = k \), тогда имеем: \( -(k+c)(k-c) = -(k^2 - c^2) = -( (a-b)^2 - c^2 ) \)

\( -( (a^2 - 2ab + b^2) - c^2 ) = -a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \)

Теперь сложим все полученные выражения:

\( (a^2 - c^2) + (-2ab + b^2) + (-a^2 + 2ab - b^2 + c^2) \)

\( = a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \)

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

\( (a^2 - a^2) + (-c^2 + c^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 - b^2) \)

\( = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

Левая часть равенства равна 0, что и требовалось доказать.

Доказано.