5. Докажите неравенство: 1) 1/4 < 1/27; 2) 3³ > 4 > 5⁵; 3) 2003² + 2005² < 2 ⋅ 2004²; 4) 2100 + 101⁻¹ > 1.

Решение:

1. \( \frac{1}{4} = 0.25 \), \( \frac{1}{27} \approx 0.037 \). Так как \( 0.25 > 0.037 \), то \( \frac{1}{4} > \frac{1}{27} \). Заданное неравенство \( \frac{1}{4} < \frac{1}{27} \) неверно.
2. \( 3^3 = 27 \), \( 4^2 = 16 \), \( 5^5 = 3125 \). Неравенство \( 27 > 16 > 3125 \) неверно, так как \( 16 < 3125 \).
3. Рассмотрим \( 2 \cdot 2004^2 - (2003^2 + 2005^2) \). Пусть \( x = 2004 \). Тогда \( 2x^2 - ((x-1)^2 + (x+1)^2) = 2x^2 - (x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1) = 2x^2 - (2x^2 + 2) = -2 \). Так как \( -2 < 0 \), то \( 2 \cdot 2004^2 < 2003^2 + 2005^2 \). Заданное неравенство \( 2003^2 + 2005^2 < 2 \cdot 2004^2 \) неверно.
4. \( 2100 = 2 \), \( 101^{-1} = \frac{1}{101} \). Неравенство \( 2 + \frac{1}{101} > 1 \) верно, так как \( 2 > 1 \) и \( \frac{1}{101} > 0 \).

Ответ: 1) Неверно; 2) Неверно; 3) Неверно; 4) Верно.