5*. Докажите справедливость неравенств: а) \(x^2+y^2-2x+4y+5\ge 0\); б) \(x^4-3x^2-2x+6>0\); в) \(x^2+2x+\frac{1}{x^2+2x+2}\ge 0\).

а) Выделим полные квадраты:

\[ x^2+y^2-2x+4y+5=(x-1)^2+(y+2)^2. \]

Квадраты неотрицательны, поэтому их сумма неотрицательна.

б) Представим выражение как сумму квадратов и положительного числа:

\[ x^4-3x^2-2x+6=(x^2-2)^2+(x-1)^2+1. \]

Первое и второе слагаемые неотрицательны, а третье равно 1, значит сумма строго положительна.

в) В знаменателе \(x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0\), поэтому выражение определено при всех действительных \(x\). Обозначим \(t=x^2+2x\). Тогда знаменатель равен \(t+2\), и

\[ t+\frac{1}{t+2}=\frac{t(t+2)+1}{t+2}=\frac{(t+1)^2}{t+2}\ge 0. \]

Знаменатель положителен, а числитель — квадрат. Все три неравенства доказаны.