5*. Докажите справедливость неравенств: а) \(x^2+y^2-2x+4y+5\ge0\); б) \(x^4-3x^2-2x+6>0\); в) \(x^2+2x+\frac{1}{x^2+2x+2}\ge0\).

а) Выделим полные квадраты:
\[x^2+y^2-2x+4y+5=(x-1)^2+(y+2)^2.\]
Сумма квадратов неотрицательна, значит исходное неравенство верно.

б) Перепишем выражение как сумму квадратов и положительной части:
\[x^4-3x^2-2x+6=(x^2-2)^2+(x-1)^2+1.\]
Оба квадрата неотрицательны, а слагаемое \(1\) положительно. Следовательно, выражение строго положительно при любом \(x\).

в) Обозначим \(u=(x+1)^2\), тогда \(u\ge0\), \(x^2+2x=u-1\), а \(x^2+2x+2=u+1\). Выражение равно
\[u-1+\frac1{u+1}=\frac{u^2}{u+1}.\]
Поскольку \(u+1>0\) и \(u^2\ge0\), выражение неотрицательно.

Ответ: все три неравенства справедливы при любых действительных \(x,y\).