5*. Докажите справедливость неравенств: а) \(x^2+y^2-6x+4y+13\ge 0\); б) \(x^4+13x^2-6x+6>0\); в) \(x^2+3>\sqrt{x^4+6x^2+8}\).

а) Выделим полные квадраты: \(x^2+y^2-6x+4y+13=(x-3)^2+(y+2)^2\). Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому сумма неотрицательна.

б) Представим выражение как сумму: \(x^4+(13x^2-6x+6)\). Для квадратного трёхчлена дискриминант равен \(D=(-6)^2-4\cdot13\cdot6=36-312=-276<0\). Его старший коэффициент положителен, значит, \(13x^2-6x+6>0\) при всех действительных \(x\). Поскольку \(x^4\ge0\), вся сумма строго положительна.

в) Левая часть положительна: \(x^2+3>0\). Сравним квадраты обеих частей: \((x^2+3)^2-(x^4+6x^2+8)=1>0\). Для положительных величин это означает \(x^2+3>\sqrt{x^4+6x^2+8}\).