5. Докажите тождество: (a²/(a + 5) − a³/(a² + 10a + 25)) : (a/(a + 5) − a²/(a² − 25)) = (5a − a²)/(a + 5).

Учитываем разложения \(a^2+10a+25=(a+5)^2\) и \(a^2-25=(a-5)(a+5)\). При \(a\ne-5,5,0\):

\(\dfrac{a^2}{a+5}-\dfrac{a^3}{(a+5)^2}=\dfrac{a^2(a+5)-a^3}{(a+5)^2}=\dfrac{5a^2}{(a+5)^2}.\)

Вторая скобка:

\(\dfrac{a}{a+5}-\dfrac{a^2}{(a-5)(a+5)}=\dfrac{a(a-5)-a^2}{(a-5)(a+5)}=-\dfrac{5a}{(a-5)(a+5)}.\)

Делим результаты:

\(\dfrac{5a^2}{(a+5)^2}:\left(-\dfrac{5a}{(a-5)(a+5)}\right)=-\dfrac{a(a-5)}{a+5}=\dfrac{5a-a^2}{a+5}.\)

Левая часть равна правой, тождество доказано при допустимых значениях переменной.