5. Докажите тождество \( \frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot (\frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9}) = -1 \).

Решение:

Преобразуем левую часть тождества.

Разложим знаменатели на множители:

• \( 4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2 \)
• \( 4a^2 - 9 = (2a-3)(2a+3) \)

Теперь выражение в скобках:

\[ \frac{2a}{(2a-3)^2} - \frac{3}{(2a-3)(2a+3)} \]

Приведём к общему знаменателю \( (2a-3)^2(2a+3) \):

\[ \frac{2a(2a+3)}{(2a-3)^2(2a+3)} - \frac{3(2a-3)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+6a - (6a-9)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+6a-6a+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} \]

Теперь умножим на \( \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \):

\[ \frac{8a^3-18a}{4a^2+9}
\cdot
\frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{2a(4a^2-9)}{4a^2+9}
\cdot
\frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} \]

Сокращаем \( 4a^2+9 \):

\[ \frac{2a(4a^2-9)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{2a(2a-3)(2a+3)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{2a}{2a-3} \]

Теперь вычтем это из первого члена:

\[ \frac{3}{2a-3} - \frac{2a}{2a-3} = \frac{3-2a}{2a-3} = \frac{-(2a-3)}{2a-3} = -1 \]

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.