7. Докажите, что при любом значении р уравнение x² + px + р - 1 = 0 имеет хотя бы один корень.

Решение:

Квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет хотя бы один корень, если его дискриминант \( D \geq 0 \).

В данном уравнении \( x^2 + px + p - 1 = 0 \):

• \( a = 1 \)
• \( b = p \)
• \( c = p - 1 \)

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = p^2 - 4
\cdot
1
\cdot
(p - 1) \]

\[ D = p^2 - 4p + 4 \]

Заметим, что \( p^2 - 4p + 4 \) является полным квадратом:

\[ D = (p - 2)^2 \]

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то \( (p - 2)^2
\geq
0 \) для любого значения \( p \).

Следовательно, \( D
\geq
0 \) при любом значении \( p \).

Это означает, что данное квадратное уравнение имеет хотя бы один корень при любом значении \( p \).

Ответ: Дискриминант уравнения \( D = (p-2)^2 \), который всегда \( \geq 0 \), следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень при любом \( p \).