5. Дуга АВ = 112°, дуга АС = 98°. Найти угол ВОС и угол ВАС.

Решение:

В круге центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.

Угол \( BOC \) является центральным и опирается на дугу \( BC \). Дуга \( BC \) равна сумме дуг \( AB \) и \( AC \), если точка \( A \) находится между \( B \) и \( C \) на окружности, или разности, если \( A \) не между ними. Из рисунка следует, что \( B \), \( A \), \( C \) расположены последовательно. Полная окружность - 360°.

Дуга \( BC = 360° - \text{дуга} \( AB \) - \(\text{дуга}\) \( AC \) \)? Нет, по рисунку, точки A, B, C расположены на окружности, и нам даны дуги AB и AC. Угол ВОС опирается на дугу BC.

Если точки A, B, C находятся на окружности, то угол \( BAC \) — вписанный. Угол \( BAC \) равен половине дуги \( BC \).

Угол \( BOC \) — центральный, он равен дуге \( BC \).

Предположим, что дуги AB и AC являются соседними. Тогда дуга \( BC = \text{дуга} \( AB \) + \(\text{дуга}\) \( AC \) = 112° + 98° = 210°.

Тогда центральный угол \( BOC = 210° \).

Вписанный угол \( BAC \) равен половине дуги \( BC \), которая не содержит точку \( A \). То есть, дуга \( BC \) = 360° - 210° = 150° (если \( A \) находится между \( B \) и \( C \) по другую сторону от центра).

Если \( A \) находится между \( B \) и \( C \) по другую сторону от центра, то дуга \( BC = 360° - 112° - 98° = 150° \).

Тогда \( \angle BAC = 150° / 2 = 75° \).

Однако, на рисунке точка \( O \) — центр окружности, а \( B \) и \( C \) — точки на окружности. Угол \( BOC \) — центральный. Дуга \( BC \) может быть найдена иначе.

Из рисунка видно, что дуга \( AB = 112° \) и дуга \( AC = 98° \). Очевидно, что \( B \) и \( C \) расположены так, что дуга \( BC \) меньше 180° (если \( O \) внутри угла \( BAC \)).

Если \( B \) и \( C \) находятся на окружности, то угол \( BOC \) — центральный. Величина дуги \( BC \) равна \( 360° - 112° - 98° \) если \( A \) является точкой, через которую проходит центр, что не так.

По расположению точек на окружности, дуга \( BC = \text{дуга} \( AB \) - \(\text{дуга}\) \( AC \) \) или \( \text{дуга} \( AC \) - \(\text{дуга}\) \( AB \) \) или \( 360 - \text{дуга} \( AB \) - \(\text{дуга}\) \( AC \) \).

Из рисунка видно, что дуга \( BC \) = \( \text{дуга} \( AB \) - \(\text{дуга}\) \( AC \) \) = 112° - 98° = 14°.

Тогда центральный угол \( BOC = 14° \).

Вписанный угол \( BAC \) равен половине дуги \( BC \), на которую он опирается. Дуга \( BC \) = 14°.

\( \angle BAC = 14° / 2 = 7° \).

Но если \( B \) и \( C \) находятся на окружности, то \( \angle BOC \) - центральный угол, который равен дуге \( BC \). И \( \angle BAC \) - вписанный угол, который равен половине дуги \( BC \).

По расположению на рисунке, дуга \( BC \) = \( \text{дуга} \( AB \) - \(\text{дуга}\) \( AC \) \) = 112° - 98° = 14°.

Тогда \( \angle BOC = 14° \).

\( \angle BAC = 14° / 2 = 7° \).

Если же дуга \( BC \) = \( \text{дуга} \( AB \) + \(\text{дуга}\) \( AC \) \) = 112° + 98° = 210°.

Тогда \( \angle BOC = 210° \) (тупой угол).

\( \angle BAC = 210° / 2 = 105° \).

По виду углов на рисунке, \( \angle BAC \) — острый, а \( \angle BOC \) — тупой. Значит, первый вариант верен.

Ответ: Угол ВОС = 14°, Угол ВАС = 7°.