5) $\frac{2(\cos^2 2\alpha-\sin^2\alpha)}{\cos 4\alpha-\sin(270^\circ-4\alpha)}=1$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) $\frac{2(\cos^2 2\alpha-\sin^2\alpha)}{\cos 4\alpha-\sin(270^\circ-4\alpha)}=1$$ Фото задания

5) $\frac{2(\cos^2 2\alpha-\sin^2\alpha)}{\cos 4\alpha-\sin(270^\circ-4\alpha)}=1$

Accepted Answer

Сначала учитываем область допустимых значений: знаменатель должен быть ненулевым.

По формуле приведения $\sin(270^\circ-4\alpha)=-\cos 4\alpha$, поэтому знаменатель равен $2\cos 4\alpha$, и требуется $\cos 4\alpha\ne0$.

Числитель преобразуем: $2(\cos^2 2\alpha-\sin^2\alpha)=\cos 4\alpha+\cos 2\alpha$.

Уравнение принимает вид $\frac{\cos 4\alpha+\cos 2\alpha}{2\cos 4\alpha}=1$. Умножаем на ненулевой знаменатель и получаем $\cos 2\alpha=\cos 4\alpha$.

Положим $u=\cos 2\alpha$. По формуле двойного угла $\cos 4\alpha=2u^2-1$, поэтому $2u^2-u-1=0$, откуда $u=1$ или $u=-\frac{1}{2}$.

При углах в градусах: из $\cos 2\alpha=1$ следует $\alpha=180^\circ k$; из $\cos 2\alpha=-\frac{1}{2}$ следует $\alpha=60^\circ+180^\circ k$ или $\alpha=120^\circ+180^\circ k$, где $k\in\mathbb Z$. Во всех этих случаях $\cos 4\alpha\ne0$.

Ответ: $\alpha=180^\circ k$, $\alpha=60^\circ+180^\circ k$ или $\alpha=120^\circ+180^\circ k$, $k\in\mathbb Z$.

5) \(\frac{2(\cos^2 2\alpha-\sin^2\alpha)}{\cos 4\alpha-\sin(270^\circ-4\alpha)}=1\)

Ответ: