5. Из 15 юношей и 12 девушек, прибывших на соревнования по биатлону, тренер должен выделить для участия в смешанной эстафете 2 юношей и 2 девушек. Сколькими способами он может это сделать?

Решение:

Выбор 2 юношей из 15: это задача на сочетания, так как порядок не важен. Число способов равно \( C_{15}^2 \).

\[ C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105 \]

Выбор 2 девушек из 12: это также задача на сочетания. Число способов равно \( C_{12}^2 \).

\[ C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66 \]

Общее число способов выбрать команду из 2 юношей и 2 девушек равно произведению числа способов выбора юношей и числа способов выбора девушек (по правилу умножения):

\[ 105 \times 66 = 6930 \]

Ответ: 6930 способами.