6. На карточках записаны все возможные четырехзначные числа, составленные из цифр 1, 2, 3, 4, без повторения. Карточки перевернули и перемешали, а затем открыли одну из них. Какова вероятность того, что на этой карточке окажется четное число?

Решение:

1. Найдем общее число возможных четырехзначных чисел:

Так как цифры не повторяются, число способов составить четырехзначное число из 4 различных цифр равно числу перестановок из 4 элементов: \( P_4 = 4! \).

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Итак, всего возможно 24 таких числа.

2. Найдем число четырехзначных чисел, которые являются четными:

Четное число — это число, оканчивающееся на четную цифру. В наборе цифр (1, 2, 3, 4) четными являются цифры 2 и 4. Рассмотрим два случая:

• Случай 1: Число оканчивается на 2.

  Последняя цифра — 2. Остальные 3 цифры (1, 3, 4) могут быть расположены на первых трех позициях в любом порядке. Число таких перестановок равно \( P_3 = 3! \).

  \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
• Случай 2: Число оканчивается на 4.

  Последняя цифра — 4. Остальные 3 цифры (1, 2, 3) могут быть расположены на первых трех позициях в любом порядке. Число таких перестановок равно \( P_3 = 3! \).

  \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Общее число четных четырехзначных чисел равно сумме чисел из обоих случаев: \( 6 + 6 = 12 \).

3. Найдем вероятность:

Вероятность того, что выпадет четное число, равна отношению числа четных чисел к общему числу чисел:

\[ P(\text{четное число}) = \frac{\text{Число четных чисел}}{\text{Общее число чисел}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Ответ: \( \frac{1}{2} \) или 0.5.