5. Из корзины взяли 8 груш, затем — четверть остатка, а потом еще 20% оставшихся груш. После этого в корзине осталась половина первоначального числа груш. Сколько груш было в корзине?

Решение:

Пусть \( x \) — первоначальное количество груш в корзине.

1. Взяли 8 груш. Осталось: \( x - 8 \) груш.
2. Взяли четверть остатка: \( \frac{1}{4}(x - 8) \) груш.
3. Осталось после этого: \( (x - 8) - \frac{1}{4}(x - 8) = \frac{3}{4}(x - 8) \) груш.
4. Затем взяли 20% оставшихся груш, что составляет \( 0.20 \) или \( \frac{1}{5} \) от \( \frac{3}{4}(x - 8) \).
5. Количество взятых груш: \( 0.20 \cdot \frac{3}{4}(x - 8) = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}(x - 8) = \frac{3}{20}(x - 8) \) груш.
6. Осталось после этого: \( \frac{3}{4}(x - 8) - \frac{3}{20}(x - 8) \).
7. Это количество равно половине первоначального числа груш: \( \frac{1}{2}x \).

Составим уравнение:

\( \frac{3}{4}(x - 8) - \frac{3}{20}(x - 8) = \frac{1}{2}x \)

Вынесем \( (x - 8) \) за скобки:

\( (x - 8) \left( \frac{3}{4} - \frac{3}{20} \right) = \frac{1}{2}x \)

Приведём к общему знаменателю в скобках:

\( \frac{3}{4} = \frac{15}{20} \)

\( (x - 8) \left( \frac{15}{20} - \frac{3}{20} \right) = \frac{1}{2}x \)

\( (x - 8) \left( \frac{12}{20} \right) = \frac{1}{2}x \)

\( (x - 8) \left( \frac{3}{5} \right) = \frac{1}{2}x \)

\( \frac{3}{5}x - \frac{24}{5} = \frac{1}{2}x \)

Перенесём \( x \)-слагаемые в одну сторону:

\( \frac{3}{5}x - \frac{1}{2}x = \frac{24}{5} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{6}{10}x - \frac{5}{10}x = \frac{24}{5} \)

\( \frac{1}{10}x = \frac{24}{5} \)

\( x = \frac{24}{5} \cdot 10 \)

\( x = 24 \cdot 2 = 48 \).

Ответ: В корзине было 48 груш.