5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$; б) $\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$; б)…$ Фото задания

5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) $\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$; б) $\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}$.

Accepted Answer

а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $5+\sqrt{5}$:

\[\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\cdot\frac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}=\frac{(5+\sqrt{5})^2}{25-5}=\frac{30+10\sqrt{5}}{20}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.\]

б) Положим $u=\sqrt[4]{x}$, $v=\sqrt[4]{y}$ (для действительных выражений требуется $x,y\geq0$). Тогда числитель равен $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$, а знаменатель — $u^2+uv+v^2$. Сокращая общий множитель, получаем $u-v$.

Ответ: а) $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$; б) $\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}$.

5. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) \(\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}\); б) \(\frac{\sqrt[4]{x^3}-\sqrt[4]{y^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}}\).

Ответ: