5. К конденсатору, электрическая ёмкость которого C = 16 пФ, подключают два одинаковых конденсатора ёмкостью X: один параллельно, а второй последовательно (см. рисунок). Ёмкость образовавшейся батареи конденсаторов равна ёмкости C. Какова ёмкость X?

Решение:

• Параллельное соединение: Конденсатор $$C$$ и конденсатор $$X$$, соединенные параллельно, дают ёмкость $$C_{пар} = C + X$$.
• Последовательное соединение: Конденсатор $$C$$ и конденсатор $$X$$, соединенные последовательно, дают ёмкость $$C_{после} = (C imes X) / (C + X)$$.
• Общая ёмкость: В схеме один конденсатор X подключен параллельно к батарее из C и X, соединенных последовательно. Таким образом, эквивалентная ёмкость $$C_{общ}$$ равна сумме ёмкости $$C$$ и $$C_{после}$$ (потому что $$C$$ и $$X$$, соединенные последовательно, находятся параллельно к $$C$$). Нет, схема предполагает, что один конденсатор $$X$$ подключен параллельно к $$C$$, а другой конденсатор $$X$$ подключен последовательно к $$C$$. На рисунке показано, что один конденсатор $$X$$ подключен параллельно к $$C$$, а второй конденсатор $$X$$ подключен последовательно к $$C$$. Но здесь они подключены не к одному конденсатору $$C$$, а к батарее. По рисунку: $$C$$ подключен параллельно к $$X$$. И эта комбинация $$C||X$$ подключена последовательно к другому $$X$$.
• По рисунку: Один конденсатор $$X$$ подключен параллельно к $$C$$. Эта комбинация $$C+X$$ подключена последовательно к другому конденсатору $$X$$. Общая ёмкость $$C_{общ} = rac{(C+X) imes X}{(C+X)+X} = rac{CX+X^2}{C+2X}$$.
• По условию $$C_{общ} = C$$.
• Подставляем $$C = 16$$ пФ: $$16 = rac{16X + X^2}{16 + 2X}$$.
• $$16(16 + 2X) = 16X + X^2$$.
• $$256 + 32X = 16X + X^2$$.
• $$X^2 - 16X - 256 = 0$$.
• Решаем квадратное уравнение: $$X = rac{-b eq ext{sqrt}(b^2 - 4ac)}{2a}$$.
• $$X = rac{16 eq ext{sqrt}((-16)^2 - 4 imes 1 imes (-256))}{2 imes 1}$$.
• $$X = rac{16 eq ext{sqrt}(256 + 1024)}{2}$$.
• $$X = rac{16 eq ext{sqrt}(1280)}{2}$$.
• $$X = rac{16 eq 16 ext{sqrt}(5)}{2}$$.
• $$X = 8 eq 8 ext{sqrt}(5)$$.
• Так как ёмкость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.
• $$X = 8 + 8 ext{sqrt}(5) ext{ пФ} ext{ (приблизительно } 8 + 8 imes 2.236 = 8 + 17.888 = 25.888 ext{ пФ)}$$.

Ответ: $$8 + 8 ext{sqrt}(5)$$ пФ