5. Какие из данных функций убывают на всей области определения: Y = 3x - 2, y = - 5x + 9, y = x², y = -x³ + x?

Решение:

Функция убывает на всей области определения, если её производная отрицательна для всех \( x \) из области определения.

• \( Y = 3x - 2 \): \( Y' = 3 \). Так как \( 3 > 0 \), функция возрастает.
• \( y = -5x + 9 \): \( y' = -5 \). Так как \( -5 < 0 \), функция убывает.
• \( y = x^2 \): \( y' = 2x \). Производная отрицательна только для \( x < 0 \), значит, функция убывает только на \( (-\infty; 0) \).
• \( y = -x^3 + x \): \( y' = -3x^2 + 1 \). Производная отрицательна, когда \( -3x^2 + 1 < 0 \), то есть \( 3x^2 > 1 \), \( x^2 > 1/3 \), \( |x| > 1/\sqrt{3} \). На интервале \( (-1/\sqrt{3}; 1/\sqrt{3}) \) функция возрастает.

Ответ: Функция \( y = -5x + 9 \) убывает на всей области определения.