7. Отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего основания цилиндра с центром его верхнего основания, равен 2см и наклонён к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус нижнего основания, \( H \) — высота цилиндра. Отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего основания с центром верхнего основания, является образующей цилиндра, если конец диаметра находится над центром нижнего основания. Но в условии сказано, что это отрезок, соединяющий конец диаметра с центром верхнего основания. Это означает, что мы имеем дело с наклоненным цилиндром или боковым сечением. Если предположить, что речь идет об образующей, то она будет равна 2 см.

Однако, условие «наклонён к плоскости основания под углом 30°» указывает, что это не прямая образующая.

Рассмотрим осевое сечение, содержащее этот отрезок. Пусть \( d \) — диаметр нижнего основания, \( R \) — радиус нижнего основания, \( H \) — высота цилиндра. Пусть конец диаметра — точка \( A \), другой конец диаметра — точка \( B \), центр верхнего основания — точка \( O_1 \). Тогда отрезок \( AO_1 = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( \Delta ABO_1 \) (где \( O_1 \) — центр верхнего основания, \( A \) — конец диаметра нижнего основания), угол \( \angle O_1AB = 30° \). Угол между отрезком \( AO_1 \) и плоскостью основания равен \( 30° \).

В этом треугольнике:

• Катет \( O_1B \) — это высота цилиндра \( H \). \( H = AO_1 \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) см.
• Катет \( AB \) — это диаметр основания \( d \). \( d = AO_1 \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \) см.
• Радиус основания \( R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

\( S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R H \)

Подставим найденные значения:

\( S_{полн} = 2 \pi \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + 2 \pi \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) (1) \)

\( S_{полн} = 2 \pi \left( \frac{3}{4} \right) + \pi \sqrt{3} \)

\( S_{полн} = \frac{3 \pi}{2} + \pi \sqrt{3} \)

\( S_{полн} = \pi \left( \frac{3}{2} + \sqrt{3} \right) \) см².

Ответ: \( \pi \left( \frac{3}{2} + \sqrt{3} \right) \) см².