7. Отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего основания цилиндра с центром его верхнего основания, равен 2см и наклонён к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Пусть \( O_1 \) — центр нижнего основания, \( A \) — конец диаметра нижнего основания, \( O_2 \) — центр верхнего основания. По условию, \( AO_2 = 2 \) см и \( \angle O_2AO_1 = 30^{\circ} \) (угол между наклонной \( AO_2 \) и плоскостью основания).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AO_2O_1 \), где \( \angle AO_1O_2 = 90^{\circ} \).

1. Найдем радиус основания \( R \):
   \( R = O_1A \). В \( \triangle AO_2O_1 \): \( \cos(\angle O_2AO_1) = \frac{O_1A}{AO_2} \)
   \( \cos(30^{\circ}) = \frac{R}{2} \)
   \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R}{2} \)
   \( R = \sqrt{3} \) см.
2. Найдем высоту цилиндра \( H \):
   В \( \triangle AO_2O_1 \): \( \sin(\angle O_2AO_1) = \frac{O_1O_2}{AO_2} \)
   \( \sin(30^{\circ}) = \frac{H}{2} \)
   \( \frac{1}{2} = \frac{H}{2} \)
   \( H = 1 \) см.
3. Найдем площадь полной поверхности цилиндра \( S_{полн} \):
   Формула площади полной поверхности цилиндра: \( S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi RH \)
   \( S_{полн} = 2 \pi (\sqrt{3})^2 + 2 \pi (\sqrt{3})(1) \)
   \( S_{полн} = 2 \pi (3) + 2 \pi \sqrt{3} \)
   \( S_{полн} = 6 \pi + 2 \pi \sqrt{3} \)
   \( S_{полн} = 2 \pi (3 + \sqrt{3}) \) см².

Ответ: \( 2\pi(3 + \sqrt{3}) \) см².