5. Какой цифрой оканчивается значение выражения 2ⁿ⁺² · 13ⁿ²?

Последние цифры степеней двойки повторяются с периодом 4; последние цифры степеней 13 совпадают с последними цифрами степеней 3. При чётном \(n\) число \(n^2\) делится на 4, поэтому \(13^{n^2}\) оканчивается цифрой 1. При нечётном \(n\), \(n^2\equiv1\pmod4\), поэтому последняя цифра \(13^{n^2}\) равна 3.

Проверим классы \(n\) по модулю 4: для \(n\equiv0\) произведение оканчивается на 4; для \(n\equiv1\) — на 6; для \(n\equiv2\) — на 6; для \(n\equiv3\) — на 4.

Ответ: цифра зависит от \(n\): 4, если \(n\equiv0\) или \(3\pmod4\); 6, если \(n\equiv1\) или \(2\pmod4\).