№5. Медианы AM и BK треугольника ABC пересекаются в точке O, AC = 22 см, AM = 18 см. Вычислите периметр треугольника AOM, если известно, что длина отрезка BO на 5 больше длины отрезка OK.

В условии напечатано «треугольника AOM», но точки A, O и M лежат на одной медиане и такой треугольник вырожден. На изображении рядом с этим фрагментом от руки указано «AOK»; решаю этот вариант. В конце также привожу результат для напечатанного варианта.

Точка O делит медиану AM в отношении \(AO:OM=2:1\). Поэтому \(AO=\frac{2}{3}\cdot18=12\) см и \(OM=6\) см. Так как AC = 22 см, а K — середина AC, \(AK=11\) см.

Точка O делит медиану BK в отношении \(BO:OK=2:1\). Пусть \(OK=x\). Тогда \(BO=2x\), а по условию \(2x-x=5\), значит, \(OK=5\) см.

Периметр треугольника AOK равен \(AO+OK+AK=12+5+11=28\) см.

Если подразумевался именно напечатанный треугольник AOM, его периметр (с учётом вырожденности) равен \(AO+OM+AM=12+6+18=36\) см.

Ответ: для треугольника AOK — 28 см; для напечатанного треугольника AOM — 36 см.