№6. На стороне BC треугольника ABC отмечена точка M так, что BM : MC = 5 : 8. Найдите отрезки, на которые отрезок AM делит медиану BK, если BK = 45 см.

Пусть \(X=AM\cap BK\). Так как \(BM:MC=5:8\), точку M можно представить как делящую BC в отношении 5 к 8. Возьмём координаты \(B=(0,0)\), \(C=(13,0)\), \(A=(u,v)\). Тогда \(M=(5,0)\), а поскольку K — середина AC, \(K=(\frac{u+13}{2},\frac v2)\).

Точка на BK имеет вид \(X=tK\), где \(t=BX/BK\). Точка на AM имеет вид \(A+s(M-A)\). Приравнивая координаты, получаем \(t=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\). Значит, \(BX=\frac{5}{9}\cdot45=25\) см, а \(XK=45-25=20\) см.

Ответ: 25 см и 20 см.