5. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите веро- ятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Решение:

Циферблат часов разделен на 12 часов. Часовая стрелка проходит полный круг за 12 часов.

Нас интересует диапазон, когда стрелка застыла на отметке 10, но не дошла до отметки 1 час. Это означает, что стрелка находится между отметкой 10 и 1 (двигаясь по часовой стрелке).

Временной интервал, соответствующий этому условию, включает отметки: 10, 11, 12 (или 0), 1.

Если мы рассматриваем положение стрелки, то интересующий нас промежуток начинается сразу после отметки 10 и заканчивается ровно на отметке 1.

Удобнее рассматривать полный оборот в 12 часов. Положение стрелки соответствует углу, пропорциональному времени.

Стрелка застыла, достигнув отметки 10. Это значит, что она прошла 10 часов от 12 (или 0). Положение '10' соответствует \( \frac{10}{12} \) оборота.

Стрелка не дошла до отметки 1 час. Это значит, что она находится перед 1 часом. Положение '1' соответствует \( \frac{1}{12} \) оборота.

Интервал, который нас интересует, это время, когда стрелка находится между 10 и 1. На 12-часовом циферблате это означает, что стрелка находится в промежутке между 10 и 12 (включая 10, но не включая 1), или между 12 и 1 (включая 12, но не включая 1). То есть, положение стрелки находится в диапазоне от 10 часов до 1 часа, если идти по циферблату.

Положения стрелки, которые удовлетворяют условию:

• 10 часов
• 11 часов
• 12 часов
• 1 час (но условие "не дойдя до отметки 1 час" означает, что 1 час не включается)

Правильнее интерпретировать "достигнув отметки 10" как положение равное 10 часам, и "не дойдя до отметки 1 час" как положение строго меньше 1 часа (т.е. до 12 часов, включая 12, и затем до 1 часа, не включая 1).

Если стрелка остановилась *на* отметке 10, то это 10 часов.

Если она *не дошла до* отметки 1 час, то она остановилась в любой момент времени после 10 часов и до 1 часа. Например, 10:30, 11:00, 11:59, 12:30, 0:45.

Интервал от 10 до 1 часа (не включая 1 час) по 12-часовому циферблату составляет: 10, 11, 12, 0 (или 12), и до 1. То есть, это 10, 11, 12. Это 3 часа.

Весь циферблат соответствует 12 часам.

Вероятность равна отношению интересующего интервала времени к полному интервалу времени.

\( P = \frac{\text{Интервал времени}}{\text{Полный оборот}} = \frac{3 \text{ часа}}{12 \text{ часов}} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \(\frac{1}{4}\)