5. Монету бросают 2 раза. Являются ли независимыми события: а) A (при первом броске выпадает орёл) и B (во второй раз выпадает решка); б) A (при первом броске выпадает орёл) и B (орёл выпадает хотя бы один раз)?

События независимы, если \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).

1. а) Результаты двух бросков независимы. \(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac12\), а \(P(A\cap B)=\frac14=P(A)P(B)\). События независимы.
2. б) \(P(A)=\frac12\). Вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз, равна \(P(B)=1-\frac14=\frac34\). Если произошло A, событие B уже обязательно произошло, поэтому \(P(A\cap B)=\frac12\). Но \(P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac34=\frac38\ne\frac12\). События зависимы.

Ответ: а) независимы; б) зависимы.