5. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Определим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по рисунку:

• \(\vec{a} = (4; 2)\)
• \(\vec{b} = (1; -2)\)

Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0 \]

Найдем длины векторов:

• \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
• \(|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)

Используем формулу косинуса угла между векторами:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{0}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{0}{10} = 0 \]

Ответ: 0