6. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Вектор \(\vec{c} = k\vec{a} + l\vec{b}\), где \(k\) и \(l\) — коэффициенты разложения. Найдите \(k\).

Решение:

Определим координаты векторов \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) по рисунку:

• \(\vec{a} = (2; 1)\)
• \(\vec{b} = (1; -2)\)
• \(\vec{c} = (1; -3)\)

Запишем равенство \(\vec{c} = k\vec{a} + l\vec{b}\) в координатной форме:

\[ (1; -3) = k(2; 1) + l(1; -2) \]\[ (1; -3) = (2k; k) + (l; -2l) \]\[ (1; -3) = (2k + l; k - 2l) \]

Составим систему уравнений:

• \(1 = 2k + l\)
• \(-3 = k - 2l\)

Из первого уравнения выразим \(l\): \(l = 1 - 2k\).

Подставим во второе уравнение:

\[ -3 = k - 2(1 - 2k) \]\[ -3 = k - 2 + 4k \]\[ -3 = 5k - 2 \]\[ 5k = -3 + 2 \]\[ 5k = -1 \]\[ k = -\frac{1}{5} \]

Ответ: -0.2