5. На полянке в ряд встали четыре гнома. Белоснежка измерила расстояния между каждой парой гномов. Могли ли получиться следующие шесть расстояний? а) 1, 2, 3, 4, 5, 6 шагов; б) 1, 1, 1, 2, 2, 4 шага?

Обозначим расстояния между соседними гномами слева направо через p, q, r. Все они положительны. Шесть расстояний между парами равны p, q, r, p + q, q + r и p + q + r.

а) Наибольшее расстояние равно 6, поэтому p + q + r = 6. Чтобы расстояния были различными и включали 1, 2, 3, 4, 5, 6, соседние промежутки должны образовать разбиение числа 6 на три положительные целые части. С точностью до перестановки возможны только (1, 1, 4), (1, 2, 3) и (2, 2, 2). В первом и третьем случаях повторяются расстояния. Для (1, 2, 3) шесть расстояний — 1, 2, 3, 3, 5, 6, а не 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: нет.

б) Сумма всех шести расстояний равна 11. По формуле выше она также равна 3p + 4q + 3r. Наибольшее из заданных расстояний равно 4, значит p + q + r = 4. Тогда 3p + 4q + 3r = 3(p + q + r) + q = 12 + q, что больше 12, поскольку q > 0. Получается противоречие с суммой 11.

Ответ: нет.