5. На сторонах PK и MH параллелограмма MPKH взяты точки A и B соответственно, MP = PB = AK, ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

Пусть \(MP=PB=AK=s\), а \(PK=L\). Тогда \(PA=PK-AK=L-s\). Так как \(A\) лежит на PK, угол MPK равен \(\angle MPB=60°\). Значит, углы параллелограмма равны 60° и 120°.

Для сравнения длин зададим координаты: \(P=(0,0)\), \(K=(L,0)\), \(M=(s/2,\sqrt3s/2)\), \(H=(L+s/2,\sqrt3s/2)\). Точка B лежит на MH и \(PB=s\), а угол MPB равен 60°. Условие даёт \(B=(s,\sqrt3s)\). Следовательно, \(BM=\sqrt{(s/2)^2+(\sqrt3s/2)^2}=s\).

Точка A имеет координаты \((L-s,0)\), поэтому \(AH=\sqrt{(3s/2)^2+(\sqrt3s/2)^2}=\sqrt3s\).

Ответ: углы параллелограмма — 60° и 120°; BM < AH (AH = √3·BM).