5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из этих чисел на 22 больше произведения первого и второго.

Решение:

Пусть первые четыре последовательных натуральных числа будут \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \), \( n+3 \), где \( n ∈ ℕ \) и \( n ≥ 1 \).

Согласно условию задачи:

Произведение третьего и четвёртого чисел: \( (n+2)(n+3) \)

Произведение первого и второго чисел: \( n(n+1) \)

Произведение третьего и четвёртого на 22 больше произведения первого и второго:

\( (n+2)(n+3) = n(n+1) + 22 \)

Раскроем скобки:

\( n^2 + 3n + 2n + 6 = n^2 + n + 22 \)
\( n^2 + 5n + 6 = n^2 + n + 22 \)

Вычтем \( n^2 \) из обеих частей уравнения:

\( 5n + 6 = n + 22 \)

Перенесём \( n \) влево, а \( 6 \) вправо:

\( 5n - n = 22 - 6 \)
\( 4n = 16 \)
\( n = \frac{16}{4} \)
\( n = 4 \)

Теперь найдём остальные числа:

Первое число: \( n = 4 \)
Второе число: \( n+1 = 4+1 = 5 \)
Третье число: \( n+2 = 4+2 = 6 \)
Четвёртое число: \( n+3 = 4+3 = 7 \)

Проверим условие: произведение третьего и четвёртого чисел \( 6 · 7 = 42 \). Произведение первого и второго чисел \( 4 · 5 = 20 \). Разность \( 42 - 20 = 22 \).

Ответ: 4, 5, 6, 7.