6. Решите уравнение x² + y² - 2x + 6y + 10 = 0.

Решение:

Сгруппируем члены уравнения по переменным \( x \) и \( y \) и выделим полные квадраты:

\( (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) + 10 = 0 \)

Для \( x^2 - 2x \) добавим и вычтем \( (\frac{-2}{2})^2 = (-1)^2 = 1 \).

Для \( y^2 + 6y \) добавим и вычтем \( (\frac{6}{2})^2 = 3^2 = 9 \).

\( (x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 6y + 9 - 9) + 10 = 0 \)

Перепишем в виде полных квадратов:

\( (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 + 10 = 0 \)

\( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 1 - 9 + 10 = 0 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + 0 = 0 \)
\( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0 \)

Сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю. Так как квадраты неотрицательны, то:

\( x - 1 = 0 → x = 1 \)

\( y + 3 = 0 → y = -3 \)

Ответ: x = 1, y = -3.