5. Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=\frac{2}{3}x^3-1,5x^2-2x$$ на отрезке $$[-1;3]$$.

Решение:

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее.

1. Найдём производную:

\( f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 1.5x^2 - 2x \)

\( f'(x) = \left(\frac{2}{3}x^3\right)' - \left(1.5x^2\right)' - (2x)' \)

\( f'(x) = \frac{2}{3} · 3x^2 - 1.5 · 2x - 2 \)

\( f'(x) = 2x^2 - 3x - 2 \)

2. Найдем критические точки:

Приравняем производную к нулю:

\( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25 \)

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

\( x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 · 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 · 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \)

Обе критические точки \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -0.5 \) принадлежат отрезку \( [-1; 3] \).

3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

• \( f(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 1.5(-1)^2 - 2(-1) = \frac{2}{3}(-1) - 1.5(1) + 2 = -\frac{2}{3} - 1.5 + 2 = -0.66... - 1.5 + 2 = -0.16... \)
• \( f(-0.5) = \frac{2}{3}(-0.5)^3 - 1.5(-0.5)^2 - 2(-0.5) = \frac{2}{3}(-0.125) - 1.5(0.25) + 1 = \frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) + 1 = -\frac{2}{24} - \frac{3}{8} + 1 = -\frac{1}{12} - \frac{9}{24} + 1 = -\frac{2}{24} - \frac{9}{24} + \frac{24}{24} = \frac{13}{24} \approx 0.54 \)
• \( f(2) = \frac{2}{3}(2)^3 - 1.5(2)^2 - 2(2) = \frac{2}{3}(8) - 1.5(4) - 4 = \frac{16}{3} - 6 - 4 = 5.33... - 10 = -4.66... \)
• \( f(3) = \frac{2}{3}(3)^3 - 1.5(3)^2 - 2(3) = \frac{2}{3}(27) - 1.5(9) - 6 = 2 · 9 - 13.5 - 6 = 18 - 13.5 - 6 = 4.5 - 6 = -1.5 \)

4. Сравним значения:

\( f(-1) \approx -0.16 \)

\( f(-0.5) \approx 0.54 \)

\( f(2) \approx -4.67 \)

\( f(3) = -1.5 \)

Наибольшее значение равно \( \frac{13}{24} \) при \( x = -0.5 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно \( \frac{13}{24} \).