8. Исследуйте функцию $$f(x)=-\frac{2}{3}x^3+0,5x^2+6x$$ с помощью производной и постройте ее график.

Исследование функции $$f(x)=-\frac{2}{3}x^3+0,5x^2+6x$$:

1. Область определения:

Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: \( D(f) = (-\infty, +\infty) \).

2. Производная функции:

\( f'(x) = \left(-\frac{2}{3}x^3\right)' + \left(0.5x^2\right)' + (6x)' \)

\( f'(x) = -\frac{2}{3} · 3x^2 + 0.5 · 2x + 6 \)

\( f'(x) = -2x^2 + x + 6 \).

3. Критические точки:

Приравняем производную к нулю:

\( -2x^2 + x + 6 = 0 \)

Умножим на -1:

\( 2x^2 - x - 6 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 \)

\( x = \frac{-(-1) ± \sqrt{49}}{2(2)} = \frac{1 ± 7}{4} \)

\( x_1 = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

\( x_2 = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \).

Критические точки: \( x = -1.5 \) и \( x = 2 \).

4. Интервалы монотонности и точки экстремума:

• Интервал \( (-\infty, -1.5) \): Возьмём \( x = -2 \). \( f'(-2) = -2(-2)^2 + (-2) + 6 = -2(4) - 2 + 6 = -8 - 2 + 6 = -4 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (-1.5, 2) \): Возьмём \( x = 0 \). \( f'(0) = -2(0)^2 + 0 + 6 = 6 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (2, +\infty) \): Возьмём \( x = 3 \). \( f'(3) = -2(3)^2 + 3 + 6 = -2(9) + 3 + 6 = -18 + 9 = -9 < 0 \). Функция убывает.

Точки экстремума:

• При \( x = -1.5 \) производная меняет знак с минуса на плюс — это локальный минимум.
• При \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус — это локальный максимум.

5. Значения функции в точках экстремума:

• \( f(-1.5) = f(-\frac{3}{2}) = -\frac{2}{3}(-\frac{3}{2})^3 + 0.5(-\frac{3}{2})^2 + 6(-\frac{3}{2}) \)
• \( f(-\frac{3}{2}) = -\frac{2}{3}(-\frac{27}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{9}{4}) - 9 = \frac{54}{24} + \frac{9}{8} - 9 = \frac{9}{4} + \frac{9}{8} - 9 = \frac{18}{8} + \frac{9}{8} - \frac{72}{8} = \frac{27 - 72}{8} = -\frac{45}{8} = -5.625 \).
• \( f(2) = -\frac{2}{3}(2)^3 + 0.5(2)^2 + 6(2) = -\frac{2}{3}(8) + 0.5(4) + 12 = -\frac{16}{3} + 2 + 12 = -5.33... + 14 = 8.66... = 8 \frac{2}{3} = \frac{26}{3} \).

6. Нули функции:

\( -\frac{2}{3}x^3 + 0.5x^2 + 6x = 0 \)

\( x(-\frac{2}{3}x^2 + 0.5x + 6) = 0 \)

Одно решение \( x=0 \).

Решим \( -\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + 6 = 0 \). Умножим на 6:

\( -4x^2 + 3x + 36 = 0 \)

\( 4x^2 - 3x - 36 = 0 \)

\( D = (-3)^2 - 4(4)(-36) = 9 + 576 = 585 \)

\( \sqrt{585} = \sqrt{9 · 65} = 3\sqrt{65} \).

\( x = \frac{3 ± 3\sqrt{65}}{8} \).

\( x_2 = \frac{3 + 3\sqrt{65}}{8} ± 3.03 \), \( x_3 = \frac{3 - 3\sqrt{65}}{8} ± (-2.28) \).

7. Построение графика:

Используем найденные точки и информацию о монотонности:

• Локальный минимум в \( (-1.5, -5.625) \).
• Локальный максимум в \( (2, 8.66...) \).
• Нули функции: \( x = 0 \), \( x ± 3.03 \), \( x ± -2.28 \).
• Убывает на \( (-\infty, -1.5) \), возрастает на \( (-1.5, 2) \), убывает на \( (2, +\infty) \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty, -1.5) \) и \( (2, +\infty) \), возрастает на \( (-1.5, 2) \). Точка минимума: \( (-1.5, -5.625) \), точка максимума: \( (2, 8.66...) \). Нули функции: \( x=0, x ± 3.03, x ± -2.28 \).