9. Найдите, при каких значениях числа а функция $$y=x^3+5x^2+ax-2$$ возрастает для всех действительных х.

Решение:

Функция возрастает для всех действительных \( x \) тогда и только тогда, когда ее производная \( y' \) неотрицательна для всех \( x \) (то есть \( y' \ge 0 \) для всех \( x \)) и \( y' = 0 \) имеет не более одной точки.

1. Найдем производную функции:

\( y = x^3 + 5x^2 + ax - 2 \)

\( y' = (x^3)' + (5x^2)' + (ax)' - (2)' \)

\( y' = 3x^2 + 5(2x) + a - 0 \)

\( y' = 3x^2 + 10x + a \).

2. Условие неотрицательности производной:

Нам нужно, чтобы квадратный трехчлен \( 3x^2 + 10x + a \) был неотрицателен для всех \( x \). Это означает, что график параболы \( y = 3x^2 + 10x + a \) должен лежать выше оси \( Ox \) или касаться ее. Это условие выполняется, если дискриминант квадратного трехчлена неположителен (меньше или равен нулю).

\( D = b^2 - 4ac \), где \( a=3, b=10, c=a \).

\( D = (10)^2 - 4(3)(a) \)

\( D = 100 - 12a \).

3. Найдём значение а:

Приравниваем дискриминант к нулю:

\( 100 - 12a ≤ 0 \)

\( 100 ≤ 12a \)

\( a ≥ \frac{100}{12} \)

\( a ≥ \frac{25}{3} \).

Ответ: Функция возрастает для всех действительных х при \( a \ge \frac{25}{3} \).