6. Составьте уравнение касательной к графику функции $$f(x)=-3x^2+6x+1$$ в точке пересечения этого графика с осью ординат.

Решение:

1. Найдём точку пересечения с осью ординат.

Ось ординат — это ось \( y \), где \( x = 0 \).

Подставим \( x = 0 \) в функцию \( f(x) = -3x^2 + 6x + 1 \):

\( f(0) = -3(0)^2 + 6(0) + 1 = 1 \).

Значит, точка пересечения с осью ординат имеет координаты \( (0, 1) \).

2. Найдём производную функции.

\( f'(x) = (-3x^2 + 6x + 1)' \)

\( f'(x) = -3(2x) + 6 = -6x + 6 \).

3. Найдём угловой коэффициент касательной в точке \( (0, 1) \).

Угловой коэффициент \( k \) равен значению производной в точке касания, то есть при \( x = 0 \).

\( k = f'(0) = -6(0) + 6 = 6 \).

4. Составим уравнение касательной.

Уравнение касательной к графику функции в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид: \( y - y_0 = k(x - x_0) \).

Подставляем \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 1 \) и \( k = 6 \):

\( y - 1 = 6(x - 0) \)

\( y - 1 = 6x \)

\( y = 6x + 1 \).

Ответ: Уравнение касательной: \( y = 6x + 1 \).