5. Найдите площадь сечения единичного куба A…D₁ плоскостью, проходящей через вершину B и середины A₁D₁, D₁C₁.

Пусть P и Q — середины A₁D₁ и D₁C₁. Кроме точек B, P и Q, плоскость пересекает ребро CC₁ в точке R, для которой CR = 2/3. Поэтому сечение — четырёхугольник BRQP.

Возьмём координаты B(1, 0, 0), R(1, 1, 2/3), Q(1/2, 1, 1), P(0, 1/2, 1). Площадь плоского многоугольника равна половине длины суммы векторных произведений соседних радиус-векторов. Эта сумма имеет координаты (5/6, −5/6, 5/4), её длина равна 5√17/12. Следовательно, площадь сечения равна 5√17/24.

Ответ: 5√17/24.