5. Найдите промежутки убывания функции f(x) = 3x³ - 36x + 23

Решение:

1. Чтобы найти промежутки убывания функции, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки.
2. Производная функции \( f'(x) = (3x^3 - 36x + 23)' = 9x^2 - 36 \).
3. Приравняем производную к нулю: \( 9x^2 - 36 = 0 \)
4. \( 9x^2 = 36 \)
5. \( x^2 = \frac{36}{9} \)
6. \( x^2 = 4 \)
7. \( x = \pm 2 \).
8. Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = 2 \). Эти точки делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, +\infty) \).
9. Определим знак производной на каждом интервале:
• На \( (-\infty, -2) \) возьмём \( x = -3 \): \( f'(-3) = 9(-3)^2 - 36 = 9 \cdot 9 - 36 = 81 - 36 = 45 > 0 \) (функция возрастает).
• На \( (-2, 2) \) возьмём \( x = 0 \): \( f'(0) = 9(0)^2 - 36 = -36 < 0 \) (функция убывает).
• На \( (2, +\infty) \) возьмём \( x = 3 \): \( f'(3) = 9(3)^2 - 36 = 9 \cdot 9 - 36 = 81 - 36 = 45 > 0 \) (функция возрастает).
10. Функция убывает на интервале, где производная отрицательна.

Ответ: функция убывает на интервале (-2, 2).