6. Для функции f(x) = 6x²-2x+5 найдите первообразную F(x), если известно, что F(-2)= -20

Решение:

1. Первообразная функции \( f(x) = 6x^2 - 2x + 5 \) находится путём интегрирования:
2. \( F(x) = \int (6x^2 - 2x + 5) dx \)
3. \( F(x) = 6 \int x^2 dx - 2 \int x dx + 5 \int dx \)
4. \( F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C \)
5. \( F(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + C \), где \( C \) — константа интегрирования.
6. Используем условие \( F(-2) = -20 \) для нахождения \( C \):
7. \( F(-2) = 2(-2)^3 - (-2)^2 + 5(-2) + C = -20 \)
8. \( 2(-8) - 4 - 10 + C = -20 \)
9. \( -16 - 4 - 10 + C = -20 \)
10. \( -30 + C = -20 \)
11. \( C = -20 + 30 \)
12. \( C = 10 \).
13. Запишем окончательный вид первообразной: \( F(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + 10 \).

Ответ: F(x) = 2x³ - x² + 5x + 10.