8. Покажите тождество (1 + ctg²α + \(\frac{1}{2}\)) · sin²α · cos²α = 1

Решение:

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( 1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \).
2. Подставим это в скобки: \( (\frac{1}{sin^2\alpha} + \frac{1}{2}) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha \).
3. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: \( (\frac{2 + sin^2\alpha}{2sin^2\alpha}) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha \).
4. Сократим \( sin^2\alpha \): \( \frac{2 + sin^2\alpha}{2} \cdot cos^2\alpha \).
5. Раскроем скобки: \( \frac{(2 + sin^2\alpha)cos^2\alpha}{2} \)
6. \( \frac{2cos^2\alpha + sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha}{2} \)
7. Используем формулы понижения степени или преобразуем: \( sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = (sin\alpha \cdot cos\alpha)^2 = (\frac{1}{2}sin(2\alpha))^2 = \frac{1}{4}sin^2(2\alpha) \).
8. \( cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2} \)
9. \( sin^2\alpha = \frac{1-cos(2\alpha)}{2} \)
10. Подставим \( sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha \) в выражение: \( \frac{2cos^2\alpha + (1-cos^2\alpha)cos^2\alpha}{2} \)
11. \( \frac{2cos^2\alpha + cos^2\alpha - cos^4\alpha}{2} = \frac{3cos^2\alpha - cos^4\alpha}{2} \) - это не приводит к 1.
12. Попробуем другой путь:
13. \( (1 + ctg^2\alpha) = \frac{1}{sin^2\alpha} \)
14. \( (\frac{1}{sin^2\alpha} + \frac{1}{2}) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha \)
15. \( (\frac{1}{sin^2\alpha} \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha) + (\frac{1}{2} \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha) \)
16. \( cos^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha cos^2\alpha \)
17. Теперь используем \( cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha \)
18. \( (1-sin^2\alpha) + \frac{1}{2} sin^2\alpha (1-sin^2\alpha) \)
19. \( 1 - sin^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha - \frac{1}{2} sin^4\alpha \)
20. \( 1 - \frac{1}{2} sin^2\alpha - \frac{1}{2} sin^4\alpha \) - тоже не 1.
21. Давайте пересмотрим исходное тождество. Возможно, есть опечатка в условии.
22. Если предположить, что в скобках было \( 1 + ctg^2\alpha \), а не \( 1 + ctg^2\alpha + \frac{1}{2} \), тогда:
23. \( (1 + ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = cos^2\alpha \) - это тоже не 1.
24. Предположим, что во второй части было \( (1 + tg^2\alpha) \): \( (1 + tg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = sin^2\alpha \) - не 1.
25. Рассмотрим исходное выражение внимательно. Может быть, \( \frac{1}{2} \) умножается на \( sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha \)?
26. \( (1 + ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha cos^2\alpha \)
27. \( \frac{1}{sin^2\alpha} \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha cos^2\alpha \)
28. \( cos^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha cos^2\alpha \)
29. \( cos^2\alpha (1 + \frac{1}{2} sin^2\alpha) \)
30. Это не равно 1.
31. Возможно, в условии ошибка и должно быть \( (1 + ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha = 1 \) или \( (1 + tg^2\alpha) \cdot cos^2\alpha = 1 \).
32. Если предположить, что \( \frac{1}{2} \) относится к \( ctg^2\alpha \), т.е. \( (1 + \frac{1}{2} ctg^2\alpha) \), то тоже не получается 1.
33. Проверим, если \( \frac{1}{2} \) умножается на \( sin^2\alpha cos^2\alpha \).
34. \( (1 + ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha cos^2\alpha \)
35. \( \frac{1}{sin^2\alpha} \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha cos^2\alpha \)
36. \( cos^2\alpha + \frac{1}{2} sin^2\alpha cos^2\alpha \)
37. \( cos^2\alpha(1 + \frac{1}{2} sin^2\alpha) \)
38. В условии задачи, вероятно, есть опечатка. Если предположить, что выражение в скобках равно \( \frac{1}{cos^2\alpha} \) (то есть \( 1 + tg^2\alpha \)) и всё умножается на \( cos^2\alpha \), тогда \( \frac{1}{cos^2\alpha} \cdot cos^2\alpha = 1 \).
39. Или, если выражение в скобках равно \( \frac{1}{sin^2\alpha} \) (то есть \( 1 + ctg^2\alpha \)) и всё умножается на \( sin^2\alpha \), тогда \( \frac{1}{sin^2\alpha} \cdot sin^2\alpha = 1 \).
40. Исходя из данного вида, тождество не доказывается.
41. Если считать, что \( \frac{1}{2} \) — это опечатка и там должно быть \( 1 \), тогда \( (1+ctg^2\alpha+1) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = (2+ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha \) - тоже не 1.
42. Если же предположить, что \( \frac{1}{2} \) — это \( \frac{1}{sin^2\alpha} \), тогда \( (1+ctg^2\alpha + \frac{1}{sin^2\alpha}) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = (\frac{1}{sin^2\alpha} + \frac{1}{sin^2\alpha}) \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = \frac{2}{sin^2\alpha} \cdot sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = 2cos^2\alpha \) - не 1.
43. Предполагаемая коррекция условия: \( (1 + ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha = 1 \).
44. \( (1 + ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha} \cdot sin^2\alpha = 1 \). Тождество доказано.
45. ИЛИ \( (1 + tg^2\alpha) \cdot cos^2\alpha = 1 \).
46. \( (1 + tg^2\alpha) \cdot cos^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha} \cdot cos^2\alpha = 1 \). Тождество доказано.
47. Если исходить из дословной записи, то тождество неверно.

Ответ: Тождество в представленном виде не доказывается. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Например, если бы выражение было \( (1 + ctg^2\alpha) \cdot sin^2\alpha \), то оно равно 1.