5. Найдите углы трапеции KLMN. По отметкам KN = KL = LM, KL ∥ NM; диагональ NL проведена, ∠LNM = 30°.

Так как KL ∥ NM, накрест лежащие углы при секущей NL равны: ∠KLN = ∠LNM = 30°.

В треугольнике KNL стороны KN и KL равны, поэтому углы при основании NL равны: ∠KNL = ∠KLN = 30°. Тогда ∠NKL = 180° − 30° − 30° = 120°.

Углы K и N трапеции односторонние при боковой стороне KN, поэтому ∠N = 180° − 120° = 60°. Поскольку ∠N = ∠KNL + ∠LNM, это согласуется с ∠N = 30° + 30° = 60°.

В треугольнике NLM сторона LM равна KL, а из равнобедренного треугольника KNL следует, что NL = √3·KL. Угол при N равен 30°. Из соотношения сторон и угла получаем ∠NML = 60°, следовательно, ∠NLM = 90°. Значит, внутренний угол трапеции при L равен ∠KLN + ∠NLM = 30° + 90° = 120°.

Оставшийся угол ∠M = 180° − 60° = 120°.

Ответ: ∠K = 120°, ∠L = 120°, ∠M = 120°, ∠N = 60°.