5) Найдите значение выражения \( 8\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} \)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Выделим из выражения \( 8\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} \) множитель, соответствующий формуле синуса двойного угла.
• \[ 8\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = 4 \cdot (2\sin\frac{5\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}) \]
• Шаг 2: Применим формулу синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) к выражению в скобках.
• \[ 4 \cdot \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = 4 \cdot \sin(\frac{10\pi}{12}) = 4 \cdot \sin(\frac{5\pi}{6}) \]
• Шаг 3: Найдем значение \( \sin(\frac{5\pi}{6}) \).
• Угол \( \frac{5\pi}{6} \) находится во второй четверти, где синус положителен. Значение синуса равно \( \frac{1}{2} \).
• \[ \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} \]
• Шаг 4: Подставим найденное значение синуса обратно в выражение.
• \[ 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

Ответ: 2