8) Решите уравнение \( \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного угла.
• \[ \sin^2 \frac{x}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} = - (\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}) \]
• \[ - (\cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4}) = - \cos(2 \cdot \frac{x}{4}) = -\cos(\frac{x}{2}) \]
• Шаг 2: Приравняем полученное выражение к правой части уравнения.
• \[ -\cos(\frac{x}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
• Умножим обе части на -1:
• \[ \cos(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• Шаг 3: Решим тригонометрическое уравнение \( \cos(y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Общее решение имеет вид: \( y = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n \), где \( n \in ℤ \).
• \[ y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \]
• Шаг 4: Подставим \( y = \frac{x}{2} \) и найдем \( x \).
• \[ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \]
• Умножим обе части на 2:
• \[ x = \pm \frac{2\pi}{6} + 4\pi n \]
• \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n \], где \( n \in ℤ \).

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n \), где \( n \in ℤ \)