5. Найти расстояние от точки A(−10; 16; 15) до плоскости 12x + √2y + 15 = 0.

Расстояние от точки \((x_0;y_0;z_0)\) до плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) равно \(\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).

Подставляем координаты точки и коэффициенты плоскости:

\(d=\frac{|12(-10)+\sqrt2\cdot16+15|}{\sqrt{12^2+(\sqrt2)^2+0^2}}=\frac{|-105+16\sqrt2|}{\sqrt{146}}\).

Поскольку \(16\sqrt2<105\), получаем \(d=\frac{105-16\sqrt2}{\sqrt{146}}\).

Ответ: \(\frac{105-16\sqrt2}{\sqrt{146}}\).