6. В единичном кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки B до плоскости (DA₁C₁).

Пусть ребро куба равно 1, а координаты вершин выбраны так: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(D(0;1;0)\), \(A_1(0;0;1)\), \(C_1(1;1;1)\).

В плоскости \((DA_1C_1)\) лежат векторы \(\overrightarrow{DA_1}=(0;-1;1)\) и \(\overrightarrow{DC_1}=(1;0;1)\). Нормальный вектор к плоскости можно взять \((-1;1;1)\), поэтому уравнение плоскости имеет вид \(-x+y+z-1=0\) (оно выполняется для D, A₁ и C₁).

Подставляем координаты B(1;0;0) в формулу расстояния от точки до плоскости:

\(d=\frac{|-1+0+0-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(\frac{2\sqrt3}{3}\).