5. Найти углы трапеции KLMN. Дано: KL ∥ NM, NK = KL = LM; диагональ NL образует с NM угол 30°.

Поскольку KL ∥ NM, угол между KL и LN равен углу между NM и NL: ∠KLN = 30°.

В треугольнике KNL стороны NK и KL равны, поэтому углы при основании NL равны: ∠KNL = ∠KLN = 30°. Тогда ∠NKL = 180° − 30° − 30° = 120°.

Угол трапеции при N складывается из углов ∠KNL и ∠LNM: ∠N = 30° + 30° = 60°. Углы при каждой боковой стороне трапеции supplementary, поэтому ∠K = 180° − 60° = 120°, а ∠L + ∠M = 180°.

Так как KL = LM, а из равнобедренного треугольника KNL следует NL = √3·KL, в треугольнике NLM при ∠LNM = 30° получается ∠NML = 60° (выпуклое расположение вершин — как на рисунке). Значит, ∠M = 60° и ∠L = 120°.

Ответ: ∠K = 120°, ∠L = 120°, ∠M = 60°, ∠N = 60°.