5. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, BC и АС в точках K, M и Т соответственно. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 6, АК = 3, BM = 6, CT = 9.

Решение:

Так как окружность вписана в треугольник, то отрезки касательных, проведенные из вершины треугольника к окружности, равны.

Из условия дано:

• Радиус вписанной окружности \( r = 6 \)
• \( AK = 3 \)
• \( BM = 6 \)
• \( CT = 9 \)

Тогда:

• \( AT = AK = 3 \)
• \( BK = BM = 6 \)
• \( CM = CT = 9 \)

Стороны треугольника равны:

• \( AB = AK + KB = 3 + 6 = 9 \)
• \( BC = BM + MC = 6 + 9 = 15 \)
• \( AC = AT + TC = 3 + 9 = 12 \)

Периметр треугольника \( P = AB + BC + AC = 9 + 15 + 12 = 36 \).

Полупериметр треугольника \( p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \).

Площадь треугольника можно найти по формуле \( S = p \cdot r \).

\[ S = 18 \cdot 6 = 108 \]

Ответ: 108.