5. Определить вид треугольника ABC, если: A(3;7;-4), B(5;-3;2) и C(1;3;-10)

Решение:

Чтобы определить вид треугольника, найдем длины всех его сторон.

1. Найдем длину стороны AB: \[ |AB| = \sqrt{(5-3)^2 + (-3-7)^2 + (2-(-4))^2} \] \[ |AB| = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} \]
2. Найдем длину стороны BC: \[ |BC| = \sqrt{(1-5)^2 + (3-(-3))^2 + (-10-2)^2} \] \[ |BC| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 \]
3. Найдем длину стороны AC: \[ |AC| = \sqrt{(1-3)^2 + (3-7)^2 + (-10-(-4))^2} \] \[ |AC| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} \]
4. Сравним квадраты длин сторон: \[ |AB|^2 = 140 \] \[ |BC|^2 = 196 \] \[ |AC|^2 = 56 \] Заметим, что \[ |AB|^2 + |AC|^2 = 140 + 56 = 196 \] Это равно \[ |BC|^2 \].
5. Применение теоремы, обратной теореме Пифагора: Так как сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны ( \[ |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 \]), то треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине A.

Ответ: Треугольник ABC — прямоугольный.