5. Определите знаки корней уравнения (если существуют), не решая уравнения: 1) a) $$x^2 + 10x + 17 = 0$$; б) $$y^2 - 13y - 11 = 0$$; 2) a) $$3y^2 - 23y + 21 = 0$$; б) $$5x^2 + 17x - 93 = 0$$; 3) a) $$x^2 + \sqrt{6}x + 8 = 0$$; б) $$3y^2 - \sqrt{3}y - 3\sqrt{2} = 0$$.

Решение: Чтобы определить знаки корней квадратного уравнения, не решая его, можно воспользоваться теоремой Виета и дискриминантом. Для квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$: 1. Вычисляем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$. 2. Если $$D < 0$$, то уравнение не имеет действительных корней. 3. Если $$D \geq 0$$, то корни существуют. Тогда, по теореме Виета: * Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ * Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$ Теперь рассмотрим каждое уравнение: 1) a) $$x^2 + 10x + 17 = 0$$: $$a = 1, b = 10, c = 17$$ $$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 100 - 68 = 32 > 0$$, корни существуют. $$x_1 + x_2 = -10 < 0$$ $$x_1 \cdot x_2 = 17 > 0$$ Так как произведение корней положительно, а сумма отрицательна, оба корня отрицательные. б) $$y^2 - 13y - 11 = 0$$: $$a = 1, b = -13, c = -11$$ $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 169 + 44 = 213 > 0$$, корни существуют. $$y_1 + y_2 = 13 > 0$$ $$y_1 \cdot y_2 = -11 < 0$$ Так как произведение корней отрицательно, один корень положительный, а другой отрицательный. Так как сумма положительна, положительный корень больше по абсолютной величине. 2) a) $$3y^2 - 23y + 21 = 0$$: $$a = 3, b = -23, c = 21$$ $$D = (-23)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21 = 529 - 252 = 277 > 0$$, корни существуют. $$y_1 + y_2 = \frac{23}{3} > 0$$ $$y_1 \cdot y_2 = \frac{21}{3} = 7 > 0$$ Так как произведение корней положительно, а сумма положительна, оба корня положительные. б) $$5x^2 + 17x - 93 = 0$$: $$a = 5, b = 17, c = -93$$ $$D = 17^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-93) = 289 + 1860 = 2149 > 0$$, корни существуют. $$x_1 + x_2 = -\frac{17}{5} < 0$$ $$x_1 \cdot x_2 = -\frac{93}{5} < 0$$ Так как произведение корней отрицательно, один корень положительный, а другой отрицательный. Так как сумма отрицательна, отрицательный корень больше по абсолютной величине. 3) a) $$x^2 + \sqrt{6}x + 8 = 0$$: $$a = 1, b = \sqrt{6}, c = 8$$ $$D = (\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 6 - 32 = -26 < 0$$, корней нет. б) $$3y^2 - \sqrt{3}y - 3\sqrt{2} = 0$$: $$a = 3, b = -\sqrt{3}, c = -3\sqrt{2}$$ $$D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3\sqrt{2}) = 3 + 36\sqrt{2} > 0$$, корни существуют. $$y_1 + y_2 = \frac{\sqrt{3}}{3} > 0$$ $$y_1 \cdot y_2 = -\sqrt{2} < 0$$ Так как произведение корней отрицательно, один корень положительный, а другой отрицательный. Так как сумма положительна, положительный корень больше по абсолютной величине. Ответ: 1) a) Оба корня отрицательные; б) Один положительный, другой отрицательный; 2) a) Оба корня положительные; б) Один положительный, другой отрицательный; 3) a) Корней нет; б) Один положительный, другой отрицательный.