5. Постройте график функции у=-x²+2x+3 и найдите координаты вершины параболы.

Решение:

1. Определение вида параболы: Коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), что означает, что ветви параболы направлены вниз.
2. Нахождение координат вершины: Координаты вершины параболы \((x_v, y_v)\) находятся по формулам:
• \(x_v = -\frac{b}{2a}\)
• \(y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c\)
3. Подстановка значений: В данном случае \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 3\).
• \(x_v = -\frac{2}{2 \times (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1\)
• \(y_v = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\)
4. Координаты вершины: Таким образом, вершина параболы находится в точке \((1, 4)\).
5. Нахождение точек пересечения с осями:
• С осью Y: При \(x=0\), \(y = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3\). Точка пересечения с осью Y: \((0, 3)\).
• С осью X: При \(y=0\), \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Умножим на -1: \(x^2 - 2x - 3 = 0\).
• Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\).
• Корни: \(x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2}\).
• \(x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3\)
• \(x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1\)
• Точки пересечения с осью X: \((-1, 0)\) и \((3, 0)\).
6. Построение графика: Отметим вершину \((1, 4)\) и точки пересечения с осями \((0, 3)\), \((-1, 0)\), \((3, 0)\). Соединим их плавной линией, учитывая, что ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы: (1, 4)