6. В треугольнике АВС сторона АВ=12 см, ВС=9 см, а угол В=120°. Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. Применение теоремы косинусов: Для нахождения третьей стороны треугольника, зная две стороны и угол между ними, используется теорема косинусов. Формула для стороны \(AC\) выглядит так: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)\).
2. Подстановка значений:
• \(AB = 12\) см
• \(BC = 9\) см
• \(\angle B = 120^{\circ}\)
3. Вычисление косинуса угла: \(\cos(120^{\circ}) = -0.5\) (или \(-\frac{1}{2}\)).
4. Расчет:
• \(AC^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot (-0.5)\)
• \(AC^2 = 144 + 81 - 216 \cdot (-0.5)\)
• \(AC^2 = 225 + 108\)
• \(AC^2 = 333\)
5. Нахождение длины стороны AC:
• \(AC = \sqrt{333}\)
• \(AC = \sqrt{9 \times 37}\)
• \(AC = 3\sqrt{37}\) см

Ответ: \(3\sqrt{37}\) см